Semi-skyline augmented fillings and non-symmetric Cauchy kernels for stair-type shapes

Using an analogue of the Robinson-Schensted-Knuth (RSK) algorithm for semi-skyline augmented fillings, due to Sarah Mason, we exhibit expansions of non-symmetric Cauchy kernels ∏ (i,j)∈η(1 − xiyj) −1, where the product is over all cell-coordinates (i, j) of the stair-type partition shape η, consisting of the cells in a NW-SE diagonal of a rectangle diagram and below it, containing the biggest stair shape. In the spirit of the classical Cauchy kernel expansion for rectangle shapes, this RSK variation provides an interpretation of the kernel for stair-type shapes as a family of pairs of semi-skyline augmented fillings whose key tableaux, determined by their shapes, lead to expansions as a sum of products of two families of key polynomials, the basis of Demazure characters of type A, and the Demazure atoms. A previous expansion of the Cauchy kernel in type A, for the stair shape was given by Alain Lascoux, based on the structure of double crystal graphs, and by Amy M. Fu and Alain Lascoux, relying on Demazure operators, which was also used to recover expansions for Ferrers shapes. Résumé. En utilisant an analogue de l’algorithme de Robinson-Schensted-Knuth (RSK) pour remplissages des lignes d’horizon augmentées, proposé par Sarah Mason, nous donnons des développements d’un noyau de Cauchy non symétrique, ∏ (i,j)∈η(1 − xiyj) −1, dans le cas où les paires (i, j) sont les coordonnées des cellules d’une partition η du type escalier dans un rectangle, contenant la plus grande partition escalier de ce rectangle. Dans l’esprit du développement classique sur les diagrammes rectangulaires, cette variation de RSK fournit une somme des produits de deux familles de polynômes clefs, engendrée par paires de remplissages des lignes d’horizon augmentées dont les formats définissent tableaux clefs, à savoir, la base des caractères de Demazure du type A et les Demazure atomes. Un développement du noyau de Cauchy non symétrique pour le type A, dans le cas de la partition escalier, a été donné par Alain Lascoux en employant la structure des graphes cristallins doublés, et par Amy M. Fu et Alain Lascoux, en se basant aux opérateurs de Demazure, qui a été aussi utilisé pour obtenir des expansions sur diagrammes de Ferrers.